Il concetto di infinito. Il nastro di Möbius.
Il nastro di Möbius, che rappresenta una superficie "infinita", dove non c'è distinzione tra lato esterno e interno del percorso.

Il concetto di infinito provocò non pochi dubbi, al pari dell’invenzione del numero zero, che provocò la crisi della filosofia greca basata sulla logica.

Nel 628 d.C. l’astronomo indiano Brahmagupta definì l’infinito come il risultato della divisione di un qualsiasi numero per zero.
L’infinito sembra non rispettare le normali regole algebriche valide per le quantità finite: se si sottrae un infinito da un altro infinito si ottiene ancora una quantità infinita. Per esempio, la successione dei numeri interi (1, 2, 3, 4, 5, 6, …) contiene un numero infinito di numeri pari (2, 4, 6, …) e un numeri infinito di numeri dispari (1, 3, 5, …); se si sottraggono gli infiniti numeri dispari all’insieme infinito di tutti i numeri, si ottiene l’insieme infinito dei numeri pari!

Il problema del concetto di infinito è rappresentato in maniera simpatica dalla storiella dell’Albergo Infinito, inventata dal matematico David Hilbert (1862 – 1943). In un normale albergo c’è un numero finito di camere; se sono tutte occupate, non c’è modo di sistemare un nuovo cliente. L’Albergo Infinito ha invece un numero infinito di stanze (numerate 1,2 3, 4, … senza limite) che sono tutte occupate: all’arrivo di un nuovo cliente il direttore fa spostare il cliente della camera 1 nella camera 2, quello della camera 2 nella camera 3 e così via, all’infinito. In questo modo la camera 1 è libera per il nuovo ospite. Il cliente è talmente soddisfatto che la volta successiva porta un numero infinito di amici: il direttore questa volta fa spostare il cliente della camera 1 nella camera 2, il cliente della camera 2 nella camera 4, quello della camera 3 nella 6 e così via all’infinito. In questo modo tutte le camere dispari, che sono infinite, saranno libere per accogliere i nuovi infiniti clienti.

Il concetto di infinito confuse non poco i filosofi greci, tra tutti Zenone di Elea (489 a.C.-431 a.C), che enunciò il famoso Paradosso di Achille e la tartaruga, utilizzato per confutare il concetto di movimento e di numero infinito di punti percorribili in un tempo finito:

Achille percorre 400 metri in un minuto mentre una tartaruga percorre 40 metri in un minuto. La tartaruga parte con 400 metri di vantaggio su Achille, che non riesce mai a superarla: infatti, quando Achille ha percorso 400 metri, la tartaruga ha ancora 40 metri di vantaggio, quando Achille ha coperto questi 40 metri (in un decimo di minuto) la tartaruga lo precede ancora di 4 metri, e così via dividendo sempre per metà il percorso mancante fino all’infinito.

Tali paradossi, ai tempi nostri facilmente confutabili, nascevano dalla difficoltà di immaginare quantità infinite di dimensioni “fisiche”, come la distanza o come le particelle di materia. Concetti ancora oggi non facilmente comprensibili a meno di non avere nozioni di fisica quantistica.